Les programmes

L’importance donnée aux problèmes dans les programmes

D’emblée, les programmes officiels (2020) mettent l’accent sur la résolution de problèmes, comme on le voit par exemple pour les programmes de cycle 2 (mais c’est la même chose pour les autres cycles) :

Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations rencontrées dans d’autres enseignements, notamment « Questionner le monde », ce qui contribue à renforcer le lien entre les mathématiques et les autres disciplines. Ils ont le plus souvent possible un caractère ludique. On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements.

• C’est à partir de problèmes que les élèves découvrent les quatre opérations.
• C’est à partir de problèmes que les élèves découvrent les grandeurs, leurs mesures, et les relations géométriques.
• C’est à partir de problèmes que des liens peuvent être faits vers d’autres disciplines, notamment l’éducation au développement durable.

Les compétences travaillées

Les compétences travaillées en cycle 2 en mathématiques concernent presque toutes la résolution de problèmes :

Domaines	Compétences
Chercher	• S’engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses, si besoin avec l’accompagnement du professeur après un temps de recherche autonome. • Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur.
Modéliser	• Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des problèmes concrets, notamment des problèmes portant sur des grandeurs et leurs mesures. • Réaliser que certains problèmes relèvent de situations additives, d’autres de situations multiplicatives, de partages ou de groupements. • Reconnaître des formes dans des objets réels et les reproduire géométriquement
Représenter	• Appréhender différents systèmes de représentations (dessins, schémas, arbres de calcul, etc.). • Utiliser des nombres pour représenter des quantités ou des grandeurs. • Utiliser diverses représentations de solides et de situations spatiales.
Raisonner	• Anticiper le résultat d’une manipulation, d’un calcul, ou d’une mesure. • Raisonner sur des figures pour les reproduire avec des instruments. • Tenir compte d’éléments divers (arguments d’autrui, résultats d’une expérience, sources internes ou externes à la classe, etc.), pour modifier ou non son jugement. • Prendre progressivement conscience de la nécessité et de l’intérêt de justifier ce que l’on affirme.
Calculer	• Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu. • Contrôler la vraisemblance de ses résultats.
Communiquer	• Utiliser l’oral et l’écrit, le langage naturel puis quelques représentations et quelques symboles pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements.

Classer les problèmes

Qu’entend-on exactement par problème ? D’après le TLFi, c’est une « question à résoudre par des méthodes rationnelles ou scientifiques », et plus précisément, en mathématiques, une « question pouvant être résolue à partir des éléments donnés dans l’énoncé ». Il s’agit d’un pur élément de déduction, la réponse étant impliquée par les éléments de l’énoncé, sans ajout d’information nouvelle.

Cependant, il y a problème et problème, d’où la nécessité de classer les problèmes. La typologie la plus intéressante que je connais est celle de Gérard Vergnaud, qui a identifié de nombreuses catégories. Ce classement est surtout utile pour les enseignants. À destination des élèves, on préférera un classement plus simple.

La classification de Vergnaud

La typologie de problèmes de Gérard Vergnaud est une classification qui aide les enseignants à organiser les problèmes mathématiques en fonction des types de raisonnements qu’ils sollicitent chez les élèves, et à s’assurer qu’ils proposent une diversité suffisante de problèmes à leurs élèves.

Quand j’ai passé le CRPE en 2015, j’avais réalisé une petite fiche sur cette classification des problèmes (à partir d’un manuel CRPE), et je trouve que c’est ce qu’il y a de plus synthétique. Je vous propose donc une impression d’écran de ma fiche de révisions pour le concours.

Source : D’après les fiches que j’avais faites en 2015 du livre Hatier Concours Mathématiques, t. 2, par Roland Charnay et Michel Mante, emprunté à la BU (cote : 040.581 CHA v.2).

Cette typologie est extrêmement intéressante pour le professeur, mais ne peut pas être proposée comme telle aux élèves. Ce qu’il importe, pour les élèves, c’est qu’à force d’être confrontés à des problèmes, ils parviennent à reconnaître un type et à identifier la démarche qui lui correspond. Cela exige un niveau d’abstraction relativement élevé, afin de comprendre que, peu importe que l’on parle de chocolats, de tulipes, de camions, etc., il s’agit toujours d’éléments que l’on ajoute, retranche, multiplie, divise…

Une typologie simplifiée : l’affichage de Lutin Bazar

Dans de nombreuses classes que je fréquente, j’ai trouvé l’affichage de Lutin Bazar que je trouve très bien fait et très parlant pour les élèves. Voici cet affichage, suivi du lien vers ce blog très connu des enseignants où vous trouverez des informations très pertinentes.

Attention : cet affichage est à construire très progressivement avec les élèves, et ne doit apparaître que par morceaux, peu à peu. Au CP, on commencera d’abord, une bonne partie de l’année, par des problèmes oraux ritualisés, pour prendre de bonnes habitudes, avant de présenter cet affichage vers la période 3 (janvier-février).

La typologie de Laurent Giauffret (CPD Maths du 06)

Laurent Giauffret, conseiller pédagogique départemental en mathématiques et sciences, propose la typologie suivante, qui est particulièrement intéressante parce qu’elle ne se résume pas au choix de l’opération, et qu’elle fait apparaître des degrés de complexité. C’est pourquoi j’ai souhaité citer cette typologie moins connue que celle de Vergnaud mais très parlante. Laurent Giauffret recommande l’utilisation de « cartes-problèmes » où la solution est donnée et où c’est le cheminement qu’il faut trouver.

Qu’est-ce qu’un « problème ouvert » ?

Il est intéressant de proposer aux élèves des problèmes ouverts. Voici la fiche que j’avais réalisée sur ce sujet lorsque je préparais le CRPE…

Les étapes de résolution et les difficultés de chacune

Voici les différentes étapes par lesquelles les élèves doivent passer lorsqu’ils résolvent un problème. Chacune est susceptible de donner lieu à des difficultés pour les élèves, auxquelles il faut apporter des remèdes. Je ressors, une fois encore, les fiches que j’avais faites lorsque je préparais le concours de prof des écoles…

Le schéma de la démarche de résolution dans les nouveaux programmes

Les programmes qui entreront en vigueur en septembre 2025 présentent un schéma de résolution qui rejoint les étapes présentées ci-dessus, mais sous une forme différente :

Qu’est-ce qu’une « situation-problème » ?

La modélisation en barres

La modélisation en barres est une approche didactique efficace pour l’enseignement de la résolution de problèmes à l’école élémentaire. Cette méthode consiste à représenter visuellement les relations entre les quantités dans un problème sous forme de barres (bandes colorées), où chaque barre symbolise une valeur ou une partie d’une valeur. En simplifiant les informations données, cette modélisation aide les élèves à mieux comprendre les concepts abstraits, tels que les relations entre les nombres, les fractions ou les proportions. Elle aide aussi à trouver la bonne opération. Les élèves peuvent ainsi décomposer un problème en étapes plus simples, favorisant une compréhension plus profonde et une résolution plus structurée. La modélisation en barres encourage le développement des compétences en résolution de problèmes, car elle pousse les élèves à analyser et à organiser les informations avant de se lancer dans des calculs.

Progressions et banque de problèmes

Les problèmes en maternelle

J’ai enseigné pendant plusieurs années en maternelle, toujours en tant que complément d’une enseignante titulaire. J’ai systématiquement utilisé les excellents guides des éditions Accès Vers les maths. Je n’ai pas d’actions chez eux, mais je me permets de vous les recommander chaudement. Attention, ces guides sont assez chers, mais les propositions pédagogiques sont vraiment riches, et faciles à prendre en main, y compris pour des enseignants débutants.

Les problèmes au cours préparatoire (CP)

Cette année, j’enseignerai au CP à mi-temps, les lundis et jeudis. Je compte proposer un problème chaque jour. Il y a 36 semaines de classes dans une année scolaire. Je dois donc prévoir 72 problèmes, et m’assurer qu’ils soient progressifs et spiralaires (pour éviter que le choix de la méthode de résolution ne soit pas « automatique »). Je prévois d’alterner problèmes simples, où l’objectif premier est la méthodologie, et problèmes ouverts, où l’objectif premier est la recherche. Dans ce dernier cas, la séance est bien sûr plus longue.

Les problèmes au cours élémentaire (CE1 et CE2)

Cette partie est pour l’instant en construction, je la mettrai à jour quand j’aurai des CE1 et/ou des CE2.

Une séquence de résolution de problèmes en CE2

Lors de mon année de stage, et dans le cadre du master MEEF premier degré, on m’a demandé de rédiger un dossier présentant une séquence complète de résolution de problèmes au CE2. Je vous le présente intégralement. Ayez bien à l’esprit, cependant, qu’il s’agit du travail d’un enseignant débutant.

Les problèmes en cours moyen (CM1 et CM2)

Cette partie est pour l’instant en construction, mais, en attendant que je développe cette partie, je vous renvoie à l’excellent site de Mallory : https://laclassedemallory.net/2022/08/05/un-an-de-resolution-de-problemes-cm1-cm2-version-2022-2023/#more-13525.

Bibliographie/sitographie

• Les catégories de problèmes pour Lutin Bazar
• Sitographie de problèmes de « MathsEnVie »
• La modélisation en barres expliquée par Olivier Le Dantec (Ac. Rennes)
• La modélisation en barres (document de l’Académie de Lyon)
• Le modèle en barres expliqué par la circo d’Avallon (Ac. Dijon)
• La modélisation des quatre opérations (Académie de Nantes)
• Hatier Concours Mathématiques, t. 2, par Roland Charnay et Michel Mante, emprunté à la BU (cote : 040.581 CHA v.2) : il doit exister depuis des versions plus récentes.
• Vers les maths (existe pour les trois niveaux PS, MS, GS), éditions Accès